Dedução da Equação de Schrödinger

Escrevendo a hamiltoniana do sistema em termos da energia cinética (T) mais a energia potencial (V) temos:

Aplicando para a energia cinética o termo "meio do produto entre a massa e o quadrado da velocidade":

 Multiplicando e dividindo pela massa na parte referente a energia cinética da equação acima:

 Porém, sabemos que o produto entre a massa e a velocidade é a grandeza momento,

 No caso unidimensional nossa hamiltoniana será:

 Na mecânica quântica, a grandeza momento pode ser representada como um operador, de modo que:

 Utilizando o operador momento na nossa hamiltoniana:

 No entanto, no caso tridimensional, a derivada parcial de segunda ordem referente ao termo da energia cinética, pode ser representada como o laplaciano, onde o mesmo é:

 Pela equação de autovalor:

 A energia também pode ser expressa como um operador:

 Aplicando nossa hamiltoniana e o operador energia na equação de autovalor ,

A equação acima é conhecida como a Equação de Schrödinger, e a mesma é de grande importância para a mecânica quântica e derivadas.