Dedução das Equações de Maxwell: Lei de Gauss

Para a dedução dessa equação é necessário lembrarmos dos conceitos de fluxo de campo elétrico sobre uma superfície gaussiana, neste caso, o fluxo será a passagem de campo elétrico por uma determinada área, conforme ilustra a Figura 1.0.

Figura 1.0: Fluxo do campo elétrico sobre uma determinada superfície.

Fonte: http://www.fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap2.pdf

Dessa forma, o fluxo é descrito como:

                                                                                                               1

Outra abordagem existente do fluxo do campo elétrico é

                                                                                                               2

Onde a carga presente na equação acima é conhecida como carga envolvida, a mesma pode ser expressa em termos da densidade linear, superficial ou volumétrica do sistema. Expressando a carga envolvida em termos da densidade volumétrica temos, 

Aplicando equação acima e a Equação (1) na Equação (2):

Fazendo algumas manipulações matemáticas,   

                                     3

O teorema fundamental para os divergentes (Teorema de Gauss) nos diz que

Aplicando o teorema acima na Equação (3),

Na forma diferencial:

                                     4

A Equação (4) é conhecida como a LEI DE GAUSS que está presente no conjunto de equações chamada de EQUAÇÕES DE MAXWELL.

Alguns livros como o JACKSON ELETRODINÂMICA CLÁSSICA, utilizam as unidades gaussianas, neste caso:

Aplicando a relação acima na Equação (4), temos:

                                    5 

A Equação (5) é conhecida como LEI DE GAUSS EM UNIDADES GAUSSIANAS. 

Abaixo segue o vídeo do nosso canal da plataforma YouTube, detalhando a dedução.