Distribuição de Maxwell-Boltzmann

Sendo a probabilidade,

Nosso interesse é achar a probabilidade máxima, na linguagem do cálculo diferencial isso seria tirar a derivada da probabilidade e igualar a zero, porém, como a equação acima se trata de um produtório tirar a derivada de N termos não seria uma tarefa fácil. Para contornar a situação, ao invés de tirar a derivada da probabilidade, tiramos a derivada do logaritmo natural da probabilidade, já que o  logaritmo de um produto se transforma em uma soma, então:

Aplicando a fórmula de Stirling e propriedades dos logaritmos temos, 

Derivando a equação acima,

                                   1

Porém, devemos lembrar dos vínculos que nosso sistema terá 

A situação acima ocorre no caso ideal, já que o número de partículas se conserva. Como a equação acima é igual a zero, podemos incluir um parâmetro alfa,

Como a energia interna do sistema também se conserva: 

Introduzindo um parâmetro beta na equação acima temos, 

Aplicando o conjunto de equação na Equação (1),

                       2

A Equação (2) é conhecida como Distribuição de Maxwell-Boltzmann, a mesma é de grande importância para a MECÂNICA ESTATÍSTICA CLÁSSICA.