Equação da Continuidade (ELETROMAGNETISMO)

Partindo da seguinte equação

1

correte elétrica é a taxa de variação de cargas elétricas em um instante de tempo.

                          2

Acima temos a equação (2) para uma densidade de corrente elétrica.

Aplicando a equação (1) na equação (2): Substituindo a equação (4) e (5) na equação (3):

Pense numa superfície fechada no espaço e num instante de tempo uma densidade de corrente atravessando essa superfície. Se uma carga "Q" está dentro dessa superfície, temos corrente saindo da superfície sendo igual a taxa de diminuição temporal da carga "Q" ou o contrário, corrente entrando na superfície sendo igual a taxa de aumento temporal da carga "Q". Sendo assim:

3

Você deve estar se perguntando qual o sentido do sinal negativo surgido no lado direito da equação. A explicação para esse passo matemático tem uma razão física. Possivelmente você já deve ter ouvido falar em conservação de carga. Se em um ponto temos diminuição de cargas, então está havendo transferência de carga para um outro ponto, só que em forma de corrente elétrica. Sendo assim, a conservação de carga elétrica diz que carga elétrica não pode ser criada e nem destruída.

Usando na equação abaixo o conceito de que densidade de carga é quantidade de carga elétrica por unidade de tempo em um volume:

4

 Segundo Teorema de Gauss temos:

5

Substituindo a equação (4) e (5) na equação (3):

Considerando esse volume um volume arbitrário e ao nosso favor.
Dessa forma chegamos a Equação da Continuidade para o eletromagnetismo.

Referências: 

Equações de Maxwell. Disponível em: <http://www.fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap10.pdf>. Acesso em: 11 jan. 2018.

CARVALHO, D. O. Eletromagnetismo I. Disponível em: <http://www.unespeletromag.com/pdf/eletromag1aula11.pdf>. Acesso em: 11 jan. 2018.