Hamiltoniano de um Pêndulo Simples

Imagine o determinado sistema físico ilustrado pela Figura 1.0,

Figura 1.0: Pêndulo simples de massa m.
Fonte:https://www.researchgate.net/figure/Figura-1-Modelo-fisico-de-um-pendulo-simples-ideal_fig1_283486894

Sabemos que o hamiltoniano é descrito como:

                                                                                           1

 A energia cinética é definida como:

 Sabemos que:

                                                                                              2

Porém, neste caso o espaço composto na derivada acima é o tamanho do arco que se forma quando o  pêndulo oscila. Com esse contexto sabemos que o comprimento do arco em termos do ângulo é:

Aplicando a igualdade acima na Equação (2), temos:

Então o quadrado da velocidade será:

 Dessa forma, a energia cinética poderá ser expressa na forma:

 Já no caso da energia cinética:

 A definição de cosseno nos diz que o mesmo é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, dessa forma temos:

 Aplicando a igualdade acima no potencial:

 Agora que temos a energia cinética (T) e a energia potencial (V) é só aplicar na Equação (1) que teremos a hamiltoniana de um Pêndulo Simples.