A lei de Gauss é matematicamente definida como:
Porém, a densidade volumétrica de cargas pode ser representada como a seguinte soma:
onde a primeira densidade é referente às cargas livres ou tudo que não for referente à polarização. Por consequência da equação acima, temos:
Devemos lembrar da seguinte definição,
Dessa forma,
Usando a seguinte propriedade,
chegamos em:
O termo entre parêntese é definido como deslocamento elétrico, o mesmo tem uma grande importância nos estudos de capacitores em circuitos eletrônicos.
Assim, chegamos na forma diferencial da lei de Gauss na matéria.
Para encontrar a forma diferencial, basta integrar a equação acima sobre um volume V arbitrário,
O teorema fundamental para os divergentes nos diz que:
Já a outra integral é referente à
Dessa forma, encontramos a
LEI DE GAUSS NA MATÉRIA na forma integral:
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